Trigonométrie dans un triangle rectangle

Propriété et définition

Soit \(\text{ABC}\) un triangle rectangle en \(\text{A}\).
On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{\text{ABC}}\).

Le cosinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\cos (\color{red}{\alpha})\), est le quotient du côté adjacent à l'angle \(\alpha\) par l'hypoténuse.
Le sinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\sin (\color{red}{\alpha})\), est le quotient du côté opposé à l'angle \(\alpha\) par l'hypoténuse.
La tangente de l'angle \(\alpha\), noté \(\tan (\color{red}{\alpha})\), est le quotient du côté adjacent à l'angle \(\alpha\) par le côté opposé à l'angle \(\alpha\).
On a ainsi : \(\cos (\color{red}{\alpha})=\dfrac{\color{blue}{\text{AB}}}{\text{BC}}\) ; \(\sin (\color{red}{\alpha})=\dfrac{\color{green}{\text{AC}}}{\text{BC}}\) et \(\tan (\color{red}{\alpha}) = \dfrac{\color{green}{\text{AC}}}{\color{blue}{\text{AB}}}\).

Remarques

Soit \(\text{ABC}\) un triangle rectangle en \(\text{A}\). On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{\text{ABC}}\). On a :

• \(0\leqslant\cos (\alpha)\leqslant 1\) et \(0\leqslant\sin (\alpha)\leqslant1\).
  
• \(\dfrac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} = \dfrac{\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}}{\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\times \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}=\tan (\alpha)\)
  

Propriété 

Pour tout réel \(\alpha\), on a \((\cos(\alpha))^2+(\sin(\alpha))^2=1\).

Notation

Soit \(\alpha\) un réel. On note : \(\cos^2(\alpha) = (\cos(\alpha))^2\).
On écrit alors : \(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\).
Il ne faut pas confondre \(\cos^2(\alpha)\) et \(\cos(\alpha^2)\).

Démonstration

Soit \(\text{ABC}\) un triangle rectangle en \(\text{A}\). On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{\text{ABC}}\).

On a \(\cos (\alpha)=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}\) donc \(\cos^2 (\alpha)=\left(\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}\right)^2 = \dfrac{\text{AB}^2}{\text{BC}^2}\).
Et \(\sin (\alpha)=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\) donc \(\sin^2 (\alpha)=\left(\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\right)^2 = \dfrac{\text{AC}^2}{\text{BC}^2}\).
Donc \(\cos^2 (\alpha) + \sin^2(\alpha)=\dfrac{\text{AB}^2}{\text{BC}^2}+ \dfrac{\text{AC}^2}{\text{BC}^2} = \dfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2}{\text{BC}^2}\).
Par hypothèse, \(\text{ABC}\) un triangle rectangle en \(\text{A}\). D'après le théorème de Pythagore, on a : \(\text{AB}^2+\text{AC}^2 = \text{BC}^2\).
D'où \(\cos^2 (\alpha) + \sin^2(\alpha) = \dfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2}{\text{BC}^2} = \dfrac{\text{BC}^2}{\text{BC}^2} = 1\).